2026 年 10 月 17 日 · 星期六
实验室里，一个温度传感器的读数突然比平时高了两度。
有人说，房间真的变热了。另一个人说，传感器的零点发生了偏移。
你连续读了十次，数值一直偏高。可是，两种解释都允许出现这种结果：房间可以持续偏热，传感器也可以持续偏移。
如果再读一百次，能解决争论吗？
重复测量可以帮助确认读数是否稳定。但如果我们关心的是“为什么偏高”，下一次该测什么，就需要另外考虑。
先问：它们会在哪件事上说出不同答案？
把两种解释写得明确一些：
- **解释 A：**房间温度升高了，传感器工作正常。
- **解释 B：**房间温度没有升高，传感器产生了约两度的偏移。
在原来的房间里继续看这只传感器，两者都预期读数偏高。这个操作能增加记录，却未必帮助区分原因。
一种更有针对性的方案，是把传感器放进温度已知且稳定的参考环境，等它达到热平衡后再比较。按照上述简化解释，A 预期读数接近参考值，B 预期读数仍然偏高。
也可以在房间里加入一支经过校准、误差来源尽可能不同的温度计。A 预期两者都反映升温，B 则预期原来的传感器与参考温度计存在差异。
这些都是教学设想，实际操作还要考虑参考设备的不确定度、位置温差与响应时间。如果偏移只在特定条件下发生，就需要更完整的解释。
为了区分解释，我们要寻找它们预测不同的条件，并让测量有能力分辨这种不同。
更容易亮灯的检测，未必更有用
用一个可手算的模型，把这件事说得更精确。
假设我们只比较 A、B 两种解释，当前各有 50% 的概率。现在可以选择两项检测，每项都只输出“亮灯”或“不亮灯”。下面的概率完全是为教学设定的，且假设已知可靠：
| 检测方案 | A 成立时亮灯的概率 | B 成立时亮灯的概率 |
|---|---|---|
| 检测甲 | 90% | 90% |
| 检测乙 | 90% | 10% |
如果只想得到一次亮灯，甲更容易满足愿望。但我们现在想知道的是：究竟该更相信 A，还是 B？
甲亮灯时，两种解释对这个结果的预测概率相同。按照第五天的算法，A 的后验概率是：
（0.5 × 0.9）÷（0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.9）= 50%。
甲不亮灯时也一样：两种解释都给它 10% 的概率，仍然无法改变 A 与 B 的相对支持程度。
乙则不同。如果亮灯，A 的后验概率变成：
（0.5 × 0.9）÷（0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.1）= 90%。
如果不亮灯，A 的后验概率降为 10%，B 升为 90%。无论结果是哪一个，它都能帮助区分这两种解释。
这个比较只针对当前的 A、B。甲可能有别的用途，例如帮助排除第三种解释；它并不是在任何任务中都没有价值。
实验还没做，怎样比较它能带来多少信息？
检测之前，我们不知道会亮灯还是不亮灯。因此，选择实验时不能只盯着自己最期待的结果，还要把各种可能结果一起考虑。
一种做法是计算预期信息增益：根据当前模型，估计不同结果出现的概率，以及每种结果会怎样改变判断，再综合评价这项实验平均能减少多少不确定性。它是贝叶斯实验设计中使用的一种准则。Tsilifis 等：以预期信息增益为准则的实验设计研究
在上面的对称例子中，乙亮灯与不亮灯的概率各为一半。两种结果分别把判断从 50% 对 50%，变成 90% 对 10% 或 10% 对 90%。
用信息熵衡量这种不确定性，起点是 1 比特；乙的两种结果对应的熵都约为 0.469 比特，因此预期减少约 0.531 比特。甲则保持原来的两种概率，预期减少量为零。这些数字由表中的教学概率计算而来。
不必记住熵的公式，也能抓住这个例子的重点：有用的检测，能让不同解释更容易被分开。
不过，一般情况下，某个具体结果也可能让原本悬殊的两种解释变得更接近。预期信息增益说的是事前平均，不保证每次实验都让判断更确定，更不保证后验偏向的解释一定正确。
预测差得再远，仪器分不出也没用
假如两个模型预期的温度只差 0.01 度，而测量波动达到 0.5 度，单次读数很难帮助区分它们。
所以，设计实验不能只在纸上寻找预测差异，还要把差异与实际测量能力放在一起看。我们可能需要改善仪器、选择差异更大的条件，或安排重复测量来估计波动。
顺序也有影响。如果总是先测条件 A，再测条件 B，设备随时间的漂移就可能混入条件差异。适当随机安排测量顺序、设置重复，可以帮助识别和控制这类问题；随机化不会让漂移本身消失。NIST：建模实验的设计原则
这时，第一天关于测量波动的讨论又派上了用场：我们必须知道读数能分辨什么，才能判断实验能回答什么。
最有信息的实验，就是最该做的吗？
还要看目标和代价。
一种检测可能区分能力很强，却需要几个月；另一种稍弱，但今天就能完成。如果目标是决定设备是否停机，还需要考虑判断错误的后果、检测费用和等待时间。
“尽量了解原因”与“选择损失更小的行动”，相关却不完全相同。预期信息增益是一种选择准则，并不自动替代所有决策目标。实验规划应先明确希望回答的问题，再选择相应设计。NIST：明确实验目标
此外，只比较两种解释，也可能漏掉真实情况。房间升温和传感器偏移可以同时发生；如果结果与两种简单解释都不相符，就该检查这些前提，而不是强迫每个结果都归入 A 或 B。
在动手之前，先写下四句话
下次面对两种都能解释现象的想法，可以先写：
- 我现在比较的解释分别是什么？
- 在拟议的实验条件下，它们各自预期什么结果？
- 仪器的精度、波动与实验安排，能否分辨这些差异？
- 不同结果出现后，我会怎样调整判断或决定下一步？
先写下这些，不会让实验永远按计划发展。但它能帮助我们发现：某个操作究竟在检验解释，还是只会再获得一份两种解释都允许的记录。
昨天，我们问新证据来了以后怎样更新判断。今天，我们往前走了一步：在证据出现之前，主动选择向世界提出什么问题。
一枚硬币的称量、恒星光线里的变化、识别照片的程序，还有眼前这只温度传感器，已经在这一周里反复遇见。明天，我们把这些故事放到一起，看看它们之间究竟有哪些共同之处，又有哪些差异不能忽略。
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