往一杯水里滴一滴墨水，有时会先看见一缕颜色往下沉，然后才看见颜色从那一缕向周围散开。假如能让水保持静止，把少量溶解的染料轻轻放在水中，颜色单靠分子的随机运动就会逐渐变淡、变宽。等到这团颜色的典型宽度变成两倍，时间要过去多久？
往左一步，往右一步
先用一个教学模型想象染料分子的运动。让一群粒子从同一个点出发，每一步都用同样长的时间，并且独立地以相同概率向左或向右走一格。走两步有四种等可能的结果。两步都往左，停在左边两格。两步都往右，停在右边两格。另外两种走法各有一步向左、一步向右，最后都回到原点。
如果把所有粒子的位移直接平均，向左和向右的位移会相互抵消，结果为零。这个零描述的是整群粒子的平均位置。要量它们散得有多宽，可以先把各自的位移平方，再取平均，最后开平方。两步后的位移平方分别是 4、0、0、4，平均是 2，开平方后约为 1.41 格。这个量叫均方根位移。MIT 的随机游走与扩散讲义
把步数继续加上去，每一步都给平均位移平方增加一格的平方。因为各步独立、左右机会相同，前后两步方向相同和方向相反的贡献在平均时抵消。走四步时，平均位移平方是 4 平方格，开平方后是两格。走十六步时，典型位移才达到四格。在这个模型里，所有粒子实际走过的路径长度都随步数增加，但每个粒子停下的位置取决于途中有多少步互相抵消。
扩散距离翻倍，时间要变成四倍
真正的染料分子不会踩着方格走。分子在液体里不断改变运动方向，即使整杯水没有流动，许多分子也会从最初聚在一起的位置向周围散开。假设染料足够稀、扩散系数 D 恒定，初始色团很小，容器边界还没有明显影响，那么沿任意一个方向量，扩散的典型距离可以用 √(2Dt) 表示，其中 t 是已经过去的时间。这里量的是单个方向上的分布宽度。OpenStax 关于分子扩散和均方根距离的教材章节
把式子反过来，达到典型距离 L 所需的时间是 L² ÷ (2D)。D 不变时，L 从一份变成两份，时间就从一份变成四份。举个算例，假设某种溶质在水里的 D 是每秒 10⁻⁹ 平方米，那么一毫米对应 500 秒，两毫米对应 2,000 秒。这两个数是用假设系数算出的示例。实际用时要看溶质和介质。对同一种溶质，在相同条件下比较两个距离，扩散系数在算时间比例时会约掉。
肉眼看到的边缘怎么量？
如果沿一条直线记录浓度，刚开始时，颜色集中在起点附近，浓度曲线又高又窄。随着分子扩散，曲线逐渐变矮、变宽。离中心相同距离的两个点，在均匀、无流动的理想模型里有相同的浓度。中心的颜色也会逐渐变淡，因为染料已经分布到更大的空间。哈佛大学的扩散讲义，见扩散方程与点源解
均方根位移描述的是整团染料的分布，有些分子走得更远，有些更近。如果拿手机拍下颜色刚好看得见的位置，读到的距离还取决于光线、背景和相机的灵敏度。初始色斑也有一定大小。要用照片检验平方根关系，可以先约定怎样根据浓度分布量宽度，再把不同时间得到的宽度按同一规则比较。
如果起初的色团已经铺开了一点，可以把初始宽度也算进去。在扩散系数恒定、边界足够远的模型里，沿一个方向用标准差来量宽度，宽度的平方会在初始值的基础上每秒增加 2D。比如初始宽度已经有一毫米，用上面的假设系数算，扩到两毫米需要 1,500 秒。前面算出的 2,000 秒对应的是从一个点开始。比较照片时，拍到第一张时色团已经有多宽，会影响后面的计算。MIT 扩散讲义中的独立位移方差相加
色团可以一边漂，一边散
想象同一团染料被放进匀速流动的水里。水会把色团的中心向下游带走。水流速度保持不变时，过两倍时间，中心就随水流走过两倍距离。与此同时，染料仍会在水中扩散。在速度处处相同的简化模型里，跟着色团中心一起移动，量到的典型宽度仍按时间的平方根增长。MIT 关于均匀水流中染料输运的教学材料
如果水流各处的速度不同，色团的一部分可能被带得快，另一部分走得慢，颜色就会被拉成细丝。搅动常会造成这种拉伸，让相邻的深色和浅色区域隔得更近，分子扩散只需跨过更短的距离就能让局部颜色变均匀。MIT 关于搅动和扩散的讲义，第 4.4 节
杯里的水可能在滴入时被带动，也可能因为温度或密度分布不均而产生流动。如果一缕墨水很快移到杯底，只盯着杯口到杯底的距离，会把水流搬运颜色的那段路也算进去。看一段墨水散开的视频时，可以试着同时追踪色团中心和色团宽度。前者告诉你颜色整体去了哪里，后者才用来问这团颜色铺开了多远。
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